Edublog Circuitos Electricos: Respuestas Características de los Sistemas Dinámicos

A fin de obtener una visión general y, en lo posible, generar una concepción intuitiva del comportamiento dinámico de sistemas de procesos, se revisarán los comportamientos dinámicos de sistemas de primer y segundo orden, así:

Dinámica de Primer orden

Utilizando variables desviación, se obtienen ecuaciones diferenciales con valores iniciales nulos en todas las variables (en particular las de entrada y las de salida), así y(t)=0, f(t)=0 en t=0.

Un sistema de primer orden no es sino aquel cuyo modelo se expresa en UNA ecuación diferencial ordinaria (a pesar de llamarse "sistema") que tiene sólo la primera derivada de la variable de respuesta del sistema. Esta puede ser escrita en términos clásicos, con coeficientes asignados a las variables de salida y de entrada (la entrada es la función que exita al sistema) y encontrar luego su "constante de tiempo" t_P y su "ganancia" K_P. Utilizando los coeficientes "a_i" y "b_j" en la Ecuación, resulta:

NOTA: si a₀=0,

conocido este último como proceso "puramente capacitivo".
El análisis de la respuesta dinámica de un sistema puramente capacitivo consiste en determinar como cambia y(t) con f(t). Por ejemplo, frente a un cambio escalón (cuya transformada es 1/s):

Es decir, un cambio escalón produce un incremento permanente en el tiempo (hasta infinito). Recibe, por eso, el nombre de "integrador puro". Se observa que un sistema capacitivo o integrador puro produciría serios problemas de comportamiento dinámico, comportándose como un sistema no autoregulado, que requiere un controlador. (Estanque con bomba de desplazamiento positivo en la salida).

VOLVIENDO AL TEMA CENTRAL:
En cambio, la respuesta dinámica de un sistema de primer orden, llamado también de respuesta exponencial, o autoregulado, se puede analizar frente a un cambio escalón (si bien es posible y deseable utilizar otras funciones de entrada, pero un escalón es suficiente, además de ser simple).

Obviamente, la respuesta a tiempo infinito es la misma amplitud "A" del escalón (porque la exponencial de menos infinito es cero). Además, como la respuesta final es finita, se suele decir que es un proceso autoregulado, pues llega a un nuevo estado estacionario aún cuando no se tome acción alguna.
El gráfico de primer orden se desarrolló utilizando un tiempo adimensional, conformado por el tiempo real dividido por el tiempo de respuesta; el resultado es que consideramos el tiempo en términos de cuántos tiempos de respuesta han pasado, porque esa nomenclatura es universal para cualquier primer orden.
Similarmente, la amplitud se presenta en términos del valor de la respuesta dividido por el valor final (a tiempo infinito) porque esa respuesta adimensional es también universal para cualquier primer orden.
La pendiente del gráfico adimensional en tiempo cero es 1,0 (es decir, la curva trazada desde 0,0 siguiendo la pendiente llegaría a 1,1). ver gráfica superior
Se puede observar que SIEMPRE la respuesta será de un 63,2% en t_p unidades de tiempo; de 86,5% en 2 t_p; de 95% en 3 t_p; de 98% en 4 t_p, etc.

Segundo Orden

Siguiendo la misma nomenclatura utilizada recién para la Ecuación de primer orden, es posible escribir la ecuación de segundo orden en forma estándar para identificar términos relacionados con la ganancia, con el tiempo de respuesta y con el coeficiente de amortiguación de la ecuación:

Puesto en la forma canónica, t es el período natural de oscilación; x es el coeficiente de amortiguación y K_p es la ganancia de estado estacionario.
Si se utilizan, nuevamente, variables desviación (para que los valores iniciales sean cero, es decir y(t)=0, dy/dt=0 para t=0) entonces

En esta expresión no se puede tomar transformada inversa sin conocer el término dentro de la raíz. Se pueden distinguir tres casos, si
x> 1, dos polos reales distintos
x= 1, polo doble real

x< 1, dos polos complejos conjugados

Respuesta Sobreamortiguada, x > 1

en caso que existan dos polos reales, mediante expansión en fracciones parciales y transformada inversa para un cambio escalón unitario:

Resulta aparente que la forma de la respuesta se asemeja a una de primer orden pero con una cierta demora en el arranque (la respuesta de primer orden arranca inmediatamente, produciendo incluso una discontinuidad en 0⁺).
El eje vertical (amplitud) del gráfico anterior se obtiene tomado la respuesta dividida por la magnitud del escalón (si no fuese unitario) y dividido por la ganancia del proceso. El eje tiempo se obtiene dividiendo el tiempo real por el tiempo de respuesta del proceso.

Respuesta críticamente amortiguada,x=1

En este caso, la transformada inversa de la respuesta (y(s)) para un cambio escalón unitario arroja la solución para el dominio del tiempo:

cuya representación gráfica es prácticamente idéntica a la indicada en la gráfica anterior para x prácticamente 1. De hecho, es una buena idea que el estudiante verifique que la solución para xmayor que 1 tiende a la solución dada para x=1, al tomar límites.
El estudiante observará que la respuesta críticamente amortiguada es la más rápida respuesta posible de un sistema de segundo orden que no oscile.

Respuesta Subamortiguada, x <1

En este caso, los polos de la función de transferencia son un número complejo y su conjugado. La transformada inversa arroja:

que da origen a soluciones oscilatorias, con frecuencia y ángulo de fase determinados según se indicó en la ecuación.

En la gráfica se observa el comportamiento general, según cambia el coeficiente de amortiguamiento (x). El estudiante podrá observar las siguientes reglas generales:

1. Las respuestas subamortiguadas son más rápidas, en su arranque a tiempo 0⁺, que todas las otras formas de respuesta de segundo orden.

2. Aún cuando la respuesta parte rápido y llega pronto a su valor final, luego sigue creciendo y oscila con una amplitud que decrece en el tiempo.

3. El comportamiento oscilatorio es tan pronunciado como pequeño sea el coeficiente de amortiguamiento.

Es muy habitual encontrar este tipo de respuesta en procesos químicos controlados... no porque las unidades de proceso respondan de este modo sino que, más bien, porque los controladores los ajustamos para que respondan rápido.
En la práctica de procesos no se suele describir el comportamiento en términos de la ganancia, el tiempo de respuesta o el coeficiente de amortiguación; estos parámetros pertenecen al ámbito de los ingenieros dedicados al control de procesos y no a su operación. Así, es útil describir el comportamiento subamortiguado en términos más empíricos y gráficos.
Al igual que para sistemas de primer orden, la respuesta del sistema a un cambio en sus entradas (entrada o perturbación) después de un largo tiempo (infinito, en realidad) llega a un nuevo estado estacionario. En este caso, la tendencia hacia el valor final podría corresponder a una oscilación amortiguada o a una tendencia exponencial. En cualquiera de estos casos, la ganancia estacionaria del proceso estará dada, como antes, por la razón entre la magnitud del escalón aplicado y la magnitud del cambio observado en la respuesta:

donde se ha denotado por "u(t)" la entrada y por "y(t)" la respuesta.
Los sistemas de segundo orden en todo caso, presentan características nuevas, respecto de los de primer orden. En particular, pueden oscilar (o no) amortiguadamente.
Los sistemas de alto orden que convergen exponencialmente a un nuevo estado estacionario se denominarán sistemas sobre amortiguados. El caso más típico resulta de sistemas en que el segundo (o mayor) orden se produce por la interconexión en serie de dos sistemas de primer orden. Habitualmente es posible (y útil) aproximar la respuesta sobre amortiguada de segundo orden a un modelo de primer orden, pero con retardo.
Cuando la respuesta de segundo orden corresponde a sistemas críticamente amortiguados (x se obtiene la más rápida respuesta no oscilatoria del sistema. En este caso, según se puede observar en la gráfica de respuestas de segundo orden, la llegada al valor final es más rápida que para los sistemas sobre amortiguados.
Cuando la respuesta es oscilatoria (x <1), se dice que el sistema está sub amortiguado. La amplitud de la oscilación depende de cuan menor que 1 sea el coeficiente de amortiguación. En este caso es posible caracterizar la oscilación en términos de su evidencia visual (aunque realmente deben determinarse por ajuste de funciones), los parámetros característicos de este segundo orden. Se habla, entonces, de:
excedente de respuesta (cuanto más allá del valor final llega la primera oscilación); este excedente, definido como A/B en la gráfica, es una función del propio coeficiente de amortiguamiento (de modo que permite su cálculo) según:

la tasa de decaimiento; refleja cuan rápido se extinguen las oscilaciones; se cuantifica mediante la razón entre dos picos consecutivos de la respuesta oscilatoria (C/A) y es, también, una función del coeficiente de decaimiento:

el período de oscilación está dado por el tiempo transcurrido entre dos picos (o cualquier otro punto) suscesivos de la respuesta oscilatoria, que en la gráfica se ha representado por "T". Por otra parte, la frecuencia de oscilación de una respuesta sub amortiguada está dado por:

Es también útil notar que si no hay amortiguación (x =0), el sistema oscilará permanentemente después de una excitación escalón. Se trata de un sistema oscilante no amortiguado.Tales sistemas oscilan con su frecuencia natural, dada por w_n=1/t , que es una propiedad del sistema (puesto que el tiempo de respuesta lo es).
El tiempo de respuesta de un sistema sub amortiguado caracteriza el tiempo que toma al sistema para llegar a su nuevo estado estacionario. Se suele definir que el tiempo de respuesta será el tiempo necesario para que el sistema llegue a un punto en que la amplitud de la oscilación sea un 5% del valor final (en variable desviación).
El tiempo de arranque caracteriza la velocidad con que responde un sistema sub amortiguado. Se cauntifica por el tiempo que toma al sistema llegar por primera vez al valor final.
Todos estos conceptos se han capturado en la gráfica de características de las respuestas sub amortiguadas.